كيف تحسب الاحتمال باستخدام توزيع بواسون؟

يتعامل خريجو دورة الحزام الأخضر للحزام الأخضر لسداسية سيجما اللينة مع نوعين من البيانات خلال مرحلة قياس سداسية سيجما في مشاريعهم في إطار الحزام الأخضر لسداسية سيجما: البيانات المستمرة والبيانات المنفصلة. التوزيع البواسون هو توزيع احتمالي للبيانات المنفصلة التي تأخذ القيم X = 0، 1، 2، 3 وهكذا. وكما يعرف أولئك الذين أكملوا تدريب سداسية سيجما على الإنترنت، فإن التوزيع البواسون يميز البيانات التي يمكنك فقط حساب حالات عدم المطابقة الموجودة فيها.
احصل على تدريب سداسية سيجما السداسية المجاني عبر الإنترنت 100%، عبر الإنترنت وبوتيرة ذاتية.
يميز التوزيع البواسون بيانات العيوب، وهي أيضًا حالات عدم المطابقة التي تؤثر على جزء من المنتج أو الخدمة ولكنها لا تجعل المنتج أو الخدمة غير صالحة للاستخدام. لنرى كيف يعمل توزيع بواسون.
التاريخ
تم اكتشاف توزيع بواسون على يد عالم الرياضيات والفيزيائي الفرنسي سيمون دينيس بواسون في عام 1837. اقترح بويسون توزيع بواسون بمثال نمذجة عدد الجنود المصابين أو القتلى عن طريق الخطأ من ركلات الخيول. أصبح توزيع بواسون مفيدًا لأنه يمثل الأحداث، خاصة الأحداث غير الشائعة.
متى تستخدم توزيع بواسون؟
غالبًا ما يُستخدم توزيع بواسون كنموذج لعدد الأحداث (مثل عدد المكالمات الهاتفية في شركة ما، أو عدد الحوادث في تقاطع طرق، أو عدد المكالمات التي يتلقاها موظف مركز اتصالات، إلخ) في فترة زمنية محددة. يُستخدم توزيع بواسون عندما يكون من المرغوب فيه تحديد احتمال عدد الأحداث على أساس كل وحدة، على سبيل المثال، لكل وحدة زمنية، لكل وحدة زمنية، لكل وحدة مساحة، لكل وحدة حجم، إلخ. بعبارة أخرى، توزيع بواسون هو التوزيع الاحتمالي الناتج عن تجربة بواسون. يعتبر توزيع بواسون مناسباً لتحليل الحالات التي يكون فيها عدد المحاولات كبيراً جداً واحتمال النجاح ضئيلاً جداً.
تجربة بواسون
تجربة بواسون هي تجربة إحصائية لها الخصائص التالية: تؤدي التجربة إلى نتائج يمكن تصنيفها على أنها نجاحات أو إخفاقات متوسط عدد النجاحات (μ) التي تحدث في منطقة محددة معروف احتمال حدوث النجاح يتناسب مع حجم المنطقة احتمال حدوث النجاح في منطقة صغيرة للغاية يساوي صفرًا تقريبًا
بارامتر بواسون لامدا (λ) هو إجمالي عدد الأحداث (k) مقسومًا على عدد الوحدات (n) في البيانات المعادلة هي: (λ = k/n).
المعادلة
ألقِ نظرة على معادلة توزيع بواسون أدناه.
دعونا نتعرف على عناصر الصيغة: P(X(X = x) يشير إلى احتمال حدوث x في فترة زمنية معينة يشير هذا الرمز ” λ” أو لامدا إلى متوسط عدد التكرارات خلال الفترة الزمنية المعطاة يشير “x” إلى عدد التكرارات المطلوبة “e” هو أساس الخوارزمية الطبيعية. وفقًا لجدول توزيع بواسون، تم اشتقاق القيمة 0.0067 على أساس قيمة ‘λ’ وقيمة ‘x’.
يمكنك تنزيل جدول توزيع بواسون عبر الإنترنت.
رسم توضيحي لتوزيع بواسون
تتعلق المشكلة بعدد الحوادث عند إشارة خطرة. من أجل التحقق من كفاءة إجراءات السلامة المتخذة عند إشارة خطرة، تقرر التحقق من السجلات السابقة. تُظهر السجلات أن متوسط عدد الحوادث كل أسبوع عند هذه الإشارة هو خمسة حوادث. بما أن عدد الحوادث يتبع التوزيع البواسوني، سنقوم بحساب احتمال: أقل من 2 حوادث في الأسبوع أكثر من 3 حوادث في الأسبوع
حساب احتمال وقوع أقل من 2 حوادث في الأسبوع باستخدام توزيع بواسون
للإجابة عن النقطة الأولى، سنحتاج إلى حساب احتمال وقوع أقل من حادثتين في الأسبوع باستخدام توزيع بواسون. رياضيًا، يمكن التعبير عن ذلك رياضيًا على الصورة P (X < 2). يشير الاحتمال الأقل من 2 إلى الاحتمال الأول المتمثل في وقوع حادثين والاحتمال الثاني المتمثل في وقوع حادث واحد. بالنظر إلى هذا الجانب من الاحتمال، يجب تخصيص الصيغة. بما أن (س) تشير إلى عدد الحوادث المرغوب فيها، يجب تشكيل المعادلة الأولية بطريقة تعبّر رياضياً عن النتيجة. لذلك، يتم تدوينها على النحو التالي: "P(X = 0) + P(X = 1)" تم تكرار المكون الرئيسي للصيغة مرتين لجزأين من النتيجة. الجزء الأول هو "P(X = 0)". الجزء الثاني هو "P(X=1)". يشير المقام في المكوّن الرئيسي للصيغة إلى "مضروب 0" و"مضروب 1" وقد تم التعبير عنه بصيغة 0 و1 مصحوباً بعلامة تعجّب. يحتوي البسط، بالنسبة لكلا الجزأين من النتيجة، على قيمة λ 5 لـ 'س' لأن متوسط عدد الحوادث التاريخية في الأسبوع هو خمسة في الإشارة. 'e' هو الأساس للخوارزمية الطبيعية. سنحتاج إلى الرجوع إلى جدول توزيع بواسون للمطالبة بقيمة الخوارزمية. بالنسبة للقيمة λ التي تساوي 5.0 وقيمة "س" على مستوى الصف "0"، فإن قيمة السم هي 0.0067 وفقًا لجدول توزيع بواسون. لهذا السبب تم توفير قيمة λ λ التي تساوي 0.0067 في المثال. في هذا الشكل، تم حل المعادلة بشكل أكبر. تظل قيمة الخوارزمية كما هي. يرجى ملاحظة أن حادث واحد هو الاحتمال المطلوب و5 حوادث هي متوسط العدد التاريخي. ولهذا السبب تم ضرب مجموع واحد زائد خمسة في قيمة بواسون. وبالتالي، فإن احتمال وقوع أقل من حادثتين في الأسبوع هو 0.0402 أو 4.02%. حساب احتمال وقوع أكثر من ثلاثة حوادث في الأسبوع باستخدام توزيع بواسون سنحتاج الآن إلى حساب احتمال وقوع أكثر من 3 حوادث في الأسبوع باستخدام توزيع بواسون. يمكن التعبير عنها بـ "P (X > 3)”. يشير احتمال وقوع أكثر من 3 إلى الاحتمال الأول لوقوع حادث واحد، والاحتمال الثاني لوقوع حادث واحد، والاحتمال الثالث لوقوع حادثين، والاحتمال الرابع لوقوع 3 حوادث. بالنظر إلى هذا الجانب من الاحتمالات، يجب تخصيص الصيغة.
دعونا نتعمق في الصيغة مرة أخرى!
بما أن “س” تشير إلى عدد الحوادث المطلوبة، يجب تشكيل المعادلة الأولية بطريقة تعبّر عن النتيجة. ولذلك، يتم تدوينها على النحو التالي: “1 – {P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)}”. يشير الرقم “1” إلى 100% لحساب العامل المحدود. تم تكرار المكون الرئيسي للصيغة أربع مرات لأربعة أجزاء من النتيجة. الجزء الأول هو “P(X = 0)”. الجزء الثاني هو “P(X=1)”. الجزء الثالث هو ‘P(X=2’ والجزء الرابع هو ‘P(X=3”.
يذكر المقام في الجزء الرئيسي من المعادلة “مضروب 0″ و”مضروب 1″ و”مضروب 2″ و”مضروب 3”. وقد تم التعبير عنها بصيغة 0 و1 و2 و3 مصحوبة بعلامة تعجب. يرجى فهم كيفية عمل ترميز المضروب. يشير “مضروب 2” إلى قيمة “2*1*2 = 2″، ويشير “مضروب 3” إلى قيمة “3*2*1 = 6”.
يحتوي البسط، بالنسبة لجميع أجزاء النتيجة، على قيمة λ 5 لـ “x” لأن متوسط عدد الحوادث التاريخية في الأسبوع هو خمسة في الإشارة. بالنسبة لقيمة λ التي تساوي 5.0 وقيمة “x” على مستوى الصف “0”، فإن قيمة السم هي 0.0067. يبقى الأمر نفسه لحساب الاحتمال في كلتا الحالتين.
تم حل المعادلة كذلك على النحو المعتاد. تمت الإشارة إلى قيمة الخوارزمية المشتركة خارج القوس. لاحظ أن 0 حادثة، و1 حادثة، و2 و3 حوادث هي الاحتمال المطلوب، و5 حوادث هي متوسط العدد التاريخي. ولهذا السبب، تم ضرب مجموع 1 زائد 5 زائد 12.5 زائد 41.67 في قيمة بواسون ليتم طرحها من 1 أو 100%. ها قد وصلنا إلى الإجابة. احتمال وقوع أكثر من أو يساوي الحوادث في الأسبوع هو 0.5968 أو 59.68%.
قد يبدو حساب الاحتمالات باستخدام توزيع بواسون صعبًا في البداية، ولكن بمجرد أن تعتاد عليه، فإنه في الواقع سهل للغاية. والأكثر من ذلك، هناك العديد من حزم البرامج، مثل Minitab، التي يمكنها إجراء حسابات توزيع بواسون نيابةً عنك! ومع ذلك، من المهم معرفة كيفية حساب الاحتمالات باستخدام توزيع بواسون يدويًا أيضًا. كما ترى، فإن توزيع بواسون مفيد جداً في حساب الاحتمالات للبيانات المنفصلة.